Oszthatósági szabályok

Fogalom

Akkor mondjuk egy számra, hogy osztható egy másikkal, ha elvégezve az osztást, egész számot kapunk eredményül.

Például:

14 osztható 7-tel, mert 14 : 7 = 2
15 nem osztható 7-tel, mert 15 : 7 = 2 17 (az eredmény nem egész szám)
0 osztható 7-tel, mert 0 : 7 = 0 (a 0 egész szám, és bármilyen számmal osztható)

Az oszthatósági szabályok

Arra valók, hogy gyorsan ellenőrizd, hogy egy szám osztható-e egy másikkal. Ennél többet nem fogsz megtudni belőle, ha az eredményre is kiváncsi vagy, akkor el kell végezni az osztást!

Egy példa a felhasználásra: osztható-e a 723 3-mal?

Megpróbálhatjuk elvégezni az osztást, de az sokáig tart...
vagy egyszerűen csak használjuk a "3-as szabályt": 7 + 2 + 3 = 12, és 12 : 3 = 4, ami egész szám, tehát osztható!

Megjegyzés:

2

Az utolsó számjegy páros (0, 2, 4, 6, 8)

128  Osztható

129  Nem osztható

3

A számjegyek összege osztható 3-mal

381 (3+8+1 = 12, és 12 : 3 = 4) Osztható

217 (2+1+7 = 10, és 10 : 3 = 3 1/3) Nem osztható

A műveletet többször is elvégezheted ugyanazon a számon:

99996 (9+9+9+9+6 = 42, aztán 4+2=6) Osztható

4

Az utolsó két számjegy osztható néggyel

1312 (12 : 4 = 3) Osztható

7019 (19 : 4 = 4 3/4) Nem osztható

Gyors ellenőrzés, ami kis számokhoz jól jöhet: felezd el kétszer, és ha még mindig egész szám, akkor osztható.

12 : 2 = 6, és 6 : 2 = 3, ami egész szám. Osztható

30 : 2 = 15, és 15 : 2 = 7,5 ami nem egész szám. Nem osztható

5

Az utolsó számjegy 0 vagy 5.

175  Osztható

809  Nem osztható

6

A szám osztható 2-vel és 3-mal is. (Igaz rá a fentebb írt 2 és 3 szabálya)

114 (Páros, tehát osztható 2-vel, és 1+1+4 = 6 és 6 : 3 = 2 osztható 3-mal is) Osztható 6-tal

308 (Páros, tehát osztható 2-vel, de 3+0+8 = 11, ami nem osztható 3-mal) Nem osztható 6-tal

7

Az utolsó számjegyet szorozd meg 2-vel, és vond ki a többi számjegy alkotta számból. Ha az eredmény osztható héttel, akkor az eredeti szám is. (A szabályt többször is alkalmazhatod, ha túl nagy az eredmény.)

672 (2 • 2 = 4, 67-4=63, és 63 : 7 = 9) Osztható

105 (2 • 5 = 10, 10-10=0, és 0 : 7 = 0) Osztható

905 (2 • 5 = 10, 90-10=80, és 80 : 7 = 11 3/7) Nem osztható

8

Az utolsó három számjegyéből (ha nincs annyi, akkor az összesből) alkotott szám osztható 8-cal.

109816 (816 : 8 = 102) Osztható

216302 (302 : 8 = 37 3/4) Nem osztható

Gyors ellenőrzés: ha háromszor elfelezed, és még mindig egész számot kapsz, akkor osztható 8-cal.

816 : 2 = 408, 408 : 2 = 204, 204 : 2 = 102 Osztható

302 : 2 = 151, 151 : 2 = 75,5 Nem osztható

9

A számjegyek összege osztható 9-el

(Megjegyzés: a szabályt többször is alkalmazhatod, ha szükséges.)

1629 (1+6+2+9=18, és újra alkalmazva: 1+8=9) Osztható

2013 (2+0+1+3=6) Nem osztható

10

A szám nullára végződik

220  Osztható

221  Nem osztható

11

A számjegyeket kivonással kezdve felváltva kivonjuk és összeadjuk. Ha az eredmény osztható 11-el, akkor a szám is.

1364 (1−3+6−4 = 0) Osztható

913 (9−1+3 = 11) Osztható

3729 (3−7+2−9 = −11) Osztható

987 (9−8+7 = 8) Nem osztható

AZ utolsó számjegyet vond ki a többi számjegy alkotta számból. Ha az eredmény osztható 11-el, akkor az eredeti szám is. (Ha szükséges, többször is elvégezheted a műveletet!)

Például 286: 28 − 6 = 22, ami osztható 11-gyel, így a 286 is osztható 11-gyel.

Többszöri alkalmazás:

Pédául 14641: 1464 − 1 = 1463
146 − 3 = 143
14 − 3 = 11, ami osztható 11-gyel, így az 14641 is osztható 11-gyel.

12

A szám osztható 3-mal és 4-gyel. (Igaz rá a fentebb írt 3 és 4 szabálya)

648
(3-mal? 6+4+8=18 and 18÷3=6 Osztható)
(4-gyel? 48 : 4=12 Osztható)
Mindkettő teljesült, tehát Osztható 12-vel

524
(3-mal? 5+2+4=11, 11 : 3 = 3 2/3 Nem osztható)
(A 4-et már nem is kell ellenőrizni, mivel a 3 nem teljesült.) Nem osztható 12-vel

Sok más ehhez hasonló szabály van, de általános iskolában elég ezeket ismerned. Tanuld meg őket minél hamarabb.

A prímtényezőkre bontás is hasznos lehet:

(Ha nem emlékszel rá, itt megnézheted.)

Ez azért hasznos, mert ha egy szám osztható egy másik számmal, akkor annak összes osztójával is.

Például

Ha egy szám osztható 12-vel, akkor osztható 2-vel, 3-mal, 4-gyel és 6-tal is, ezek ugyanis a 12 osztói.

Másképpen:
Ha a 24-et prímtényezőire bontjuk, akkor 2 • 2 • 2 • 3-at kapunk. Ezekkel és az összes lehetséges szorzattal is osztható.
Tehát: 2-vel, 3-mal, 2 • 3=6-tal. 2 • 2=4-gyel, 2 • 2 • 2=8-cal, 2 • 2 • 3=12-vel, és 2 • 2 • 2 • 3=24-gyel, mert önmagával minden szám osztható. (A számokat csak annyiszor használhatod fel, ahányszor a prímtényezős felbontásban szerepelnek!) És természetesen minden egész szám oszható 1-gyel is, így a 24 is.